ミクロ経済学入門：生産関数・費用最小化・利潤最大化

STEP 1: 生産関数とは？— 労働から生産量へ

企業は 労働 L を投入して 生産量 Y を生産します。この関係を 生産関数 Y = F(L) と呼びます。

曲線に引いた接線の傾き＝「もう1単位労働を追加したとき増える生産量」＝ 限界生産物 MP
原点から点までの直線の傾き＝「労働1単位あたりの平均生産量」＝ 平均生産物 AP

労働量 (L)：9

← STEP 1〜2 で使用

📐 計算の過程（L = 9 のとき）

① 生産量 Y = F(L)

Y = 10√L
= 10 × √
= 10 ×
=

② 限界生産物 MP（接線の傾き）

MP = dF/dL = 5 / √L
= 5 ÷ √
= 5 ÷
=

③ 平均生産物 AP（原点からの傾き）

AP = Y ÷ L
= ÷ 9
=

💡 収穫逓減の確認

L を増やすと…
MP = （接線がなだらかになる）
AP = （原点からの線もなだらか）
→ これが「収穫逓減の法則」です。

限界生産物 MP（接線の傾き）

労働を1単位追加したとき生産量がどれだけ増えるかを表します。
MP = dF/dL = 5/√L
スライダーで L を大きくすると、接線の傾きがどんどん緩やかになることを確認しましょう。

平均生産物 AP（原点からの傾き）

労働1単位あたりの平均生産量を表します。
AP = F(L)/L = 10/√L
Y = 10√L の場合は常に AP = 2 × MP。原点からの直線の傾きにも注目しましょう。

STEP 2: 収穫逓減の法則 — MP はなぜ下がり続けるのか？

L が増えるほど MP（限界生産物）が小さくなるのが 収穫逓減の法則です。このことが、企業の費用曲線の形を決めます。

📊 収穫逓減と費用曲線の関係（L = 9）

現在の限界生産物 MP

MP = 5/√L = 5/√9
=

現在の平均生産物 AP

AP = 10/√L = 10/√9
=

💡 費用曲線とのつながり（MC = w / MP）

生産量を1単位増やすには
追加労働 ΔL = 1/MP が必要
→ コスト増 = w × ΔL = w / MP

∴ MC = w / MP

例）賃金率 w = 5 のとき
MC = 5 ÷
=
（MP↓ なら MC↑　← 収穫逓減の反映）

💡 生産関数 → 費用曲線の「翻訳」

生産関数の世界
収穫逓減
（L が増えると MP ↓）

→

費用関数の世界
限界費用逓増
（q が増えると MC ↑）

収穫逓減（MP↓）があるから MC = w/MP が増加 し、総費用曲線は「S字型」に上に凸になります。これが費用曲線の形状の根本的な理由です。

STEP 3: 費用最小化 — 等産出量曲線と等費用線

企業が労働 L と資本 K の 2 つの投入物を使う場合、同じ生産量を達成する中で費用が最小になる組み合わせを選びます。

生産関数：Y = L^0.5 × K^0.5（コブ＝ダグラス型）　利子率 r = 1（固定）

賃金率 w：2.0

目標生産量 Y₀：4.0

📐 費用最小化の計算（w = 2.0, r = 1, Y₀ = 4.0）

① 等産出量曲線（Isoquant）

Y₀ = L^0.5 × K^0.5
→ K = Y₀² / L
= / L
（グラフ：緑の曲線）

② 費用最小化の条件

等産出量曲線の傾き = 等費用線の傾き
MRTS = w/r
K/L =
→ K = × L

③ 最適投入量 (L*, K*)

L* = Y₀ × √(r/w)
= × √()
= ×
=

K* = Y₀ × √(w/r)
= × √()
= ×
=

④ 最小費用 C*

C* = w×L* + r×K*
= × + ×
= +
=

等産出量曲線（Isoquant）

同じ生産量 Y₀ を達成できる (L, K) の組み合わせを結んだ曲線。グラフの緑の曲線です。

式：K = Y₀² / L

等費用線（Isocost Line）

同じ費用 C で購入できる (L, K) の組み合わせ。グラフの青い直線。傾きは −w/r。

式：K = C/r − (w/r)×L

費用最小点 E（接点）

等産出量曲線と等費用線が接する点 E が費用最小点。
MRTS = w/r が成立します。

w を変えると E が動くことを確認！

STEP 4: 利潤最大化 — なぜ P = MC が最適なのか？

企業の利潤：π = TR − TC = p×q − TC(q)。利潤を最大にする生産量 q* を求めます。

価格スライダーを動かして、TR 直線と TC 曲線の「開き具合（= 利潤）」が最大になる点を探してみましょう。

市場価格 (P)：12.0 ← STEP 4 で使用

💹 利潤の計算（P = 12.0 のとき）

① 与えられた式

TC(q) = 0.4q³ − 3q² + 12q + 15
TR(q) = P × q = 12.0 × q
MC(q) = dTC/dq = 1.2q² − 6q + 12

② 最適生産量 q*（P = MC の条件）

P = MC → 12.0 = 1.2q*² − 6q* + 12
→ q* = —

③ 総収入 TR

TR = P × q*
= — × —
= —

④ 総費用 TC（q* を代入）

TC = 0.4q*³ − 3q*² + 12q* + 15
q*² = —　q*³ = —
= 0.4×— − 3×— + 12×— + 15
= — − — + — + 15
= —

⑤ 利潤 π = TR − TC

π = — − —
= —

💡 今の状況

利潤関数 π(q) — どこで最大になるか？

上の TR と TC の縦の差が利潤 π です。下のグラフで利潤関数 π(q) の形を直接確認できます。頂点（最大点）での接線の傾き = 0 → dπ/dq = p − MC = 0 → p = MC

限界収入（MR = P）vs 限界費用（MC）— 操業の「羅針盤」

価格競争市場では MR = P（水平線）。MC 曲線との交点が最適生産量 q* です。

P と最大利潤 π*(P) の関係 — 価格が上がると利潤はずっと増える？

各価格 P で企業が最適な q* を選んだときの利潤 π*(P) を描いたグラフです。
P スライダーを動かして、赤点がどこに移動するか確認しましょう。このモデルでは P が上がるほど π* は単調増加し、「ピーク → 下降」はありません。

💡 なぜピークがないのか？（包絡線定理）
企業は常に P = MC となる q* を選ぶため、どんな価格でも「最適に対応」できます。
dπ*/dP = q* > 0 → P が上がれば q* も増え、利潤は必ず増加します。
ただし現実には設備・資源に上限（容量制約）があり、それを超えると利潤が減少に転じます。このモデルはその制約を省略した単純化です。

① P > MC のとき（q < q*）

収入の増加 > 費用の増加
→ もっと生産すれば利潤が増える
→ 生産量を増やすべき ▶

② P = MC のとき（q = q*）

収入の増加 = 費用の増加
→ これ以上増やしても利潤は増えない
→ 利潤最大点 q* ★

③ P < MC のとき（q > q*）

収入の増加 < 費用の増加
→ 生産するほど利潤が減る
→ 生産量を減らすべき ◀

💡 微分で見る利潤最大化（数学が得意な人向け）

π(q) = p·q − TC(q) を q で微分してゼロとおく：

                dπ/dq = p − dTC/dq = 0

                          ↑TR の傾き　↑TC の傾き

                          = MR（=P）  = MC

                → P = MC

つまり「利潤最大化条件 P = MC」は、利潤関数の傾きがゼロになる点を求めているだけです。グラフで確認してください！

なぜ企業は P = MC で生産するのか？